[2015년 백석고]

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[1학년 2학기 기말 수2]

[eqn: 6 log_5 root{2 root{2` root3 of2}} times log_2 5]의 값은?

⑤

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: {a^x + a^-x} over {a^x - a^-x} = root2]일 때, [eqn: {a^3x + a^-3x} over{a^x - a^-x}]의 값은? (단, [eqn: a>0]이다.)

③

① [eqn: root2]	② [eqn: 3root2]	③ [eqn: 5root2]

④ [eqn: 7root2]	⑤ [eqn: 9 root2]

제[eqn: 5]항이 [eqn: 20]이고, 제[eqn: 15]항이 [eqn: -20]인 등차수열 [eqn: "{"a_n "}"]에 대하여 [eqn: a_21]의 값은?

③

① [eqn: -40]	② [eqn: -42]	③ [eqn: -44]

④ [eqn: -46]	⑤ [eqn: -48]

등차수열 [eqn: 5,```a _{1} ,```a _{2} ,```a _{3} ,``` CDOTS ,```a _{n} ,```62]의 모든 항의 합이 [eqn: 670]일 때, 이 수열의 공차는?

①

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

첫째항부터 제[eqn: 3]항까지의 합이 [eqn: 72], 첫째항부터 제[eqn: 6]항까지의 합이 [eqn: 90]인 등비수열의 첫째항부터 제[eqn: 9]항까지의 합은 [eqn: q overp]이다. [eqn: p+q]의 값은? (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

①

① [eqn: 191]	② [eqn: 193]	③ [eqn: 195]

④ [eqn: 197]	⑤ [eqn: 199]

모든 항이 실수인 수열 [eqn: "{"a _{n} "}"]에 대하여 [eqn: a_1 =3], [eqn: a_4 = 24],
[eqn: (a_n+1 )^2 = a_n a_n+2] [eqn: (n=1,```2,```3,``` CDOTS )]일 때, [eqn: a_111 over a_107]의 값은?

③

① [eqn: 4]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 16]

④ [eqn: 27]	⑤ [eqn: 81]

자연수 [eqn: n]에 대하여 다항식 [eqn: f _{n} (x)=4 ^{n} x ^{4} +3 ^{n} x ^{3} +2 ^{n} x ^{2} +x+1]을 [eqn: x-2]로 나누었을 때의 나머지를 [eqn: a_n], [eqn: x+2]로 나누었을 때의 나머지를 [eqn: b_n]이라 할 때, [eqn: sum_n=1^10 (a_n -b_n )]의 값의 일의 자리의 수는?b

②

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

두 양수 [eqn: a], [eqn: b]가 [eqn: a^5 = 3 ,~b^12 =9]를 만족시킨다. [eqn: 100] 이하의 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: LEFT ( root {3} of {a ^{2} b ^{3}} RIGHT ) ^{n}]이 자연수가 되는 모든 [eqn: n]의 값의 합은?

④

① [eqn: 240]	② [eqn: 350]	③ [eqn: 420]

④ [eqn: 550]	⑤ [eqn: 720]

[eqn: 1]월 초에 [eqn: 110]만 원짜리 노트북을 사는 데 계약금 [eqn: 10]만 원을 내고, 나머지는 [eqn: 1]월 말부터 매달 일정한 금액 [eqn: a]원을 [eqn: 12]개월에 걸쳐 갚기로 하였다. 이때 [eqn: a]의 값은? (단, 월이율 [eqn: 5%]의 복리, [eqn: 1.05 ^{12} =1.8]로 계산한다.)

④

① [eqn: 105000]	② [eqn: 107500]	③ [eqn: 110000]

④ [eqn: 112500]	⑤ [eqn: 115000]

수열 [eqn: "{"a_n"}"]의 첫째항부터 제 [eqn: n]항까지의 합 [eqn: S_n]이
[eqn: S_n = n^2 - 2n +2]일 때, [eqn: sum_k=1^51 1 over {a_k a_k+1} = q overp]이다. [eqn: p+q]의 값은? (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

②

① [eqn: 251]	② [eqn: 252]	③ [eqn: 253]

④ [eqn: 254]	⑤ [eqn: 255]

자연수 [eqn: n]에 대하여 수열 [eqn: "{"a_n"}"]이 다음 세 조건을 만족시킬 때, [eqn: a_200]의 값은?

④

(가) [eqn: a_1 =10]

(나) [eqn: a_n]의 값이 홀수이면 [eqn: a_n+1 = 3a_n +1]

(다) [eqn: a_n]의 값이 짝수이면 [eqn: a_n+1 = a_n over2]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

[eqn: a_1 = 1], [eqn: a_2 = 4], [eqn: a _{n} -a _{n+1} +a _{n+2} =0][eqn: (n=1,```2,```3,``` CDOTS )]으로 정의된 수열 [eqn: "{"a _{n} "}"]에 대하여 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은?

⑤

ㄱ. [eqn: a_n = a_n+6]

ㄴ. [eqn: a_2015 =-4]

ㄷ. [eqn: sum_n=1^2015 a_n = 3]

① ㄱ	② ㄴ	③  ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

실수 [eqn: a]의 값에 관계없이 항상 정의되는 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은?

①

ㄱ. [eqn: log`_{a^2 -a+2} (a^2 +1)]

ㄴ. [eqn: log`_{2`|`a`|`+1} (`|`a`|`+2)]

ㄷ. [eqn: log`_{a^2 +1} (a^2 +2a-3)]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[eqn: log2 = 0.30 ,~ log3 = 0.48]일 때, [eqn: left( 1over18 right)^n]은 소수점 아래 [eqn: 13]째 자리에서 처음으로 [eqn: 0]이 아닌 숫자 [eqn: a]가 나타난다. [eqn: n+a]의 값은? (단, [eqn: n]과 [eqn: a]는 자연수이다.)

②

① [eqn: 11]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 13]

④ [eqn: 14]	⑤ [eqn: 15]

두 실수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: 21^a =7], [eqn: 21^b = 9]일 때, [eqn: 3^{ 2+b over 2-2a}]의 값은?

⑤

① [eqn: 14]	② [eqn: 21]	③ [eqn: 27]

④ [eqn: 49]	⑤ [eqn: 63]

수열 [eqn: "{"a_n"}"]이 [eqn: a_1 = 3], [eqn: a_n+1 = 3^n+1 a_n][eqn: (n=1,```2,```3,``` CDOTS )]으로 정의될 때, [eqn: log_root3 a_1 `^2 + log_root3 a_2 `^2 + log_root3 a_3 `^2 + cdots+log_root3 a_10 `^2]의 값은?

④

① [eqn: 550]	② [eqn: 660]	③ [eqn: 770]

④ [eqn: 880]	⑤ [eqn: 990]

[eqn: 15%]의 소금물 [eqn: 100rmg]과 [eqn: 5%]의 소금물 [eqn: 100rmg]을 섞은 소금물의 농도를 [eqn: a_1 %]라고 하자. [eqn: a_1 %]의 소금물 [eqn: 100rmg]과 [eqn: 5%]의 소금물 [eqn: 100rmg]을 섞은 소금물의 농도를 [eqn: a_2 %]라고 할 때, 이와 같은 시행을 [eqn: n]번 반복한 소금물의 농도는 [eqn: a_n %]이다. [eqn: a_10 = m left( 1over2 right)^k +m]라고 할 때, [eqn: k+m]의 값은? (단, [eqn: k], [eqn: m]은 자연수이다.)

①

① [eqn: 14]	② [eqn: 15]	③ [eqn: 16]

④ [eqn: 17]	⑤ [eqn: 18]

자연수를 다음 그림과 같이 규칙적으로 배열할 때, [eqn: 10]행 [eqn: 12]열의 값은? (예를 들어, [eqn: 2]행 [eqn: 3]열의 값은 [eqn: 8]이다.)

⑤

	[eqn: 1]열	[eqn: 2]열	[eqn: 3]열	[eqn: 4]열	[eqn: 5]열	[eqn: 6]열	[eqn: 7]열	[eqn: cdots]
[eqn: 1]행	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 4]	[eqn: 7]	[eqn: 11]	[eqn: 16]	[eqn: 22]	[eqn: cdots]
[eqn: 2]행	[eqn: 3]	[eqn: 5]	[eqn: 8]	[eqn: 12]	[eqn: 17]	[eqn: 23]
[eqn: 3]행	[eqn: 6]	[eqn: 9]	[eqn: 13]	[eqn: 18]	[eqn: 24]
[eqn: 4]행	[eqn: 10]	[eqn: 14]	[eqn: 19]	[eqn: 25]
[eqn: 5]행	[eqn: 15]	[eqn: 20]	[eqn: 26]
[eqn: 6]행	[eqn: 21]	[eqn: 27]
[eqn: 7]행	[eqn: 28]
[eqn: vdots]	[eqn: vdots]

① [eqn: 210]	② [eqn: 213]	③ [eqn: 215]

④ [eqn: 218]	⑤ [eqn: 220]

[eqn: 1000] 이하의 자연수 [eqn: N]에 대하여
[eqn: m le log2N <m+1], [eqn: m+1 le log N^3 <m+2]
를 동시에 만족시키는 정수 [eqn: m]이 존재하도록 하는 모든 자연수 [eqn: N]의 개수는?

④

① [eqn: 1]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 9]

[eqn: 1<x<1000]인 실수 [eqn: x]에 대하여
[eqn: logx^3 - [log x^3 ] = log rootx - [log rootx ]]
을 만족시키는 모든 [eqn: x]의 곱을 [eqn: M]이라 할 때, [eqn: logM]의 값은? (단, [eqn: [x]]는 [eqn: x]보다 크지 않은 최대의 정수이다.)

②

① [eqn: 28 over5]	② [eqn: 56over5]	③ [eqn: 72over5]

④ [eqn: 85 over 7]	⑤ [eqn: 110 over7]

다음은 [eqn: 2] 이상의 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 부등식
[eqn: 1- 1over2 + 1over3 - 1over4 + cdots + 1over 2n-1 - 1over2n < 1over4 left( 3- 1overn right)] [eqn: cdots] ㉠
이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다.

위의 과정에서 (가), (나), (다)에 알맞은 식을 각각 [eqn: p], [eqn: f(k)], [eqn: g(k)]라 할 때, [eqn: 3p+7f(3)+3g(3)]의 값은?

(ⅰ) [eqn: n=2]일 때,

[eqn: (좌변)=` BOX{````(가)````}], [eqn: (우변)= {5} over {8}]

이므로 ㉠이 성립한다.

(ⅱ) [eqn: n=k``(k ge2)]일 때, ㉠이 성립한다고 가정하면

[eqn: 1- 1over2 + 1over3 - 1over4 + cdots + 1over 2k-1 - 1over 2k < 1over4 left( 3- 1overk right)]

[eqn: n=k+1]일 때 ㉠이 성립함을 보이기 위해

양변에 [eqn: BOX{````(나)````}]를 더하면

[eqn: 1- {1} over {2} + {1} over {3} - {1} over {4} + CDOTS + {1} over {2k-1} - {1} over {2k} +` BOX{````(나)````}]

[eqn: < {1} over {4} LEFT ( 3- {1} over {k} RIGHT ) +` BOX{````(나)````}]

[eqn: < {1} over {4} LEFT ( 3- {1} over {k} RIGHT ) +` BOX{````(다)````} = {1} over {4} LEFT ( 3- {1} over {k+1} RIGHT )]

따라서 [eqn: n=k+1]일 때도 ㉠이 성립한다.

(ⅰ)과 (ⅱ)에 의해 [eqn: 2] 이상의 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 부등식 ㉠이 성립한다.

③

① [eqn: 13over8]	② [eqn: 15over8]	③ [eqn: 31over16]

④ [eqn: 33over16]	⑤ [eqn: 35over16]

서술형

수열 [eqn: "{"a_n"}"]이 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여
[eqn: a_1 + 2^2 a_2 + 3^2 a_3 + cdots + n^2 a_n = 2n+1]
을 만족시킬 때, [eqn: sum_n=1^9 1overa_n]의 값을 구하시오.

[eqn: {427} over {3}]

[2015년 백석고]

[1학년 2학기 기말 수2]

오타, 오류, 문의사항 : hansungeun@gmail.com